拉普拉斯变换计算器

拉普拉斯变换计算器：

使用这个在线拉普拉斯变换计算器来找到函数 f（t） 的拉普拉斯变换。计算器应用相关的拉普拉斯变换公式和积分运算进行表示。

什么是拉普拉斯变换？

拉普拉斯变换是一种绝对积分变换，可帮助您将实变量 （t） 中的函数转换为复变量 （s） 中的函数。

$F（s） = \int_{0}^{∞} f（t）e^{-st} dt$

定义：

• f（t） = 为区间 t≥0 定义的时间函数
• s = 复变量 （s=a+b？，其中 ' a ' 是实数，“ b ' 是虚部）
• $\int_{0}^{∞}$ = 函数积分不正确
• F（s） = 频域函数

如何找到函数的拉普拉斯变换？

有两种可能的方法来查找拉普拉斯变换：

1 - 使用拉普拉斯公式：

$F（s） = \int_{0}^{∞} f（t）e^{-st} dt$

例：

假设我们有下面给出的函数：

$F（T）=6E^{-5T}+E^{3T}+5T^{3}-9$

步骤01：记下拉普拉斯变换公式

$F（s） = \int_{0}^{∞} f（t）e^{-st} dt$

步骤02：输入给定的函数f（t）

$F（s） = \int_{0}^{∞} f（t）e^{-st} dt$ $F（s） = \int_{0}^{∞} （6e^{-5t}+e^{3t}+5t^{3}-9） e^{-st} dt$

步骤03：将公式应用于各个术语

1. $6e^{-5t}$：

$\int_{0}^{∞} 6e^{-5t} e^{-st} dt$ $=6\int_{0}^{∞} e^{-（5+s）t} dt$ $=6[\dfrac{1}{-（5+s）}e^{-（5+s）t}]_{0}^{∞}$ $=6[\dfrac{1}{s+5}]$

1. $e^{3t}$;

$\int_{0}^{∞} e^{3t} e^{-st} dt$ $=\int_{0}^{∞} e^{（3-s）t}dt$ $=[\dfrac{1}{3-s}e^{（3-s）t}]_{0}^{∞}$ $=\dfrac{1}{s-3}$

1. $5吨^{3}$：

$\int_{0}^{∞} 5t^{3} e^{-st} dt$ $=5\int_{0}^{∞}t^{3}e^{-st}dt$ $=[\dfrac{1}{3-s}e^{（3-s）t}]_{0}^{∞}$ $=5*\dfrac{3！}{s^{4}}$ $=\dfrac{30}{s^{4}}$

1. -9：

$\int_{0}^{∞} -9 e^{-st} dt$ $=-9\int_{0}^{∞} e^{-st} dt$ $=-9[\dfrac{-1}{s}e^{-st}]_{0}^{∞}$ $=\dfrac{9}{s}$

步骤04：将所有转换相加

$F（s）=6（\dfrac{1}{s+5}+\dfrac{1}{s-3}+\dfrac{30}{s^{4}}-\dfrac{9}{s}$

 

2：拉普拉斯变换计算器：

• 只需输入给定的函数 f（t）
• 点击 “计算”
• 获取频域函数 F（s）

拉普拉斯变换表：

以下拉普拉斯变换表可帮助您找到简单和最常见函数的拉普拉斯变换，并提供初始条件：

unction name	Time-domain function	Laplace transforms online
	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Constant	1	1/s
Linear	t	1/$s^2$
Power	t n	n!/$s^{n+1}$
Power	t a	Γ(a+1) ⋅ s -(a+1)
Exponent	e at	1/s-a
Sine	sin at	a/ $s^2 + a^2$
Cosine	cos at	s/ $s^2 + a^2$
Hyperbolic sine	sinh at	a/ $s^2 - a^2$
Hyperbolic cosine	cosh at	s/ $s^2 - a^2$
Growing sine	t sin at	2as/ $(s^2 + a^2)^2$
Growing cosine	t cos at	$s^2 - a^2/ (s^2 + a^2)^2$
Decaying sine	e -at sin ωt	ω /$(s+a)^2 + ω^2$
Decaying cosine	e -at cos ωt	(s+a)/$(s+a)^2 + ω^2$
Delta function	δ(t)	1
Delayed delta	δ(t-a)	e-as

拉普拉斯变换的性质：

我们的在线拉普拉斯变换计算器根据以下属性自动执行函数变换：

Property	方程
Linearity	F(s) = L{f(t)} + L{g(t)}
Time Delay	L{f(t-td)} = e^(-tsd) F(s)
First Derivative	L{f'(t)} = sF(s) - f(0-)
Second Derivative	L{f''(t)} = s^2 F(s) - sf(0-) - f'(0-)
Nth Derivative	L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1)f(0-) - ... - f^(n-1)(0-)
Integration	L{∫f(t) dt} = 1/s F(s)
Convolution	L{f(t) * g(t)} = F(s)G(s)
Initial Value Theorem	lim(s->∞) sF(s) = f(0-)
Final Value Theorem	lim(s->0) sf(s) = f(∞)